E8, teori matematika tersulit

Teka-teki Matematika 120 Tahun Terpecahkan


Belasan matematikawan berhasil menyusun E8, sebuah struktur teoretis 248 dimensi.

Setelah empat tahun bekerja sama dengan intensif, 18 matematikawan terkemuka dan pakar komputer dari Amerika Serikat dan Eropa berhasil memetakan E8, salah satu struktur matematika terumit dan terbesar.

Pemetaan ini diharapkan dapat digunakan untuk menguji teori tentang struktur alam semesta serta teori gabungan ruang, waktu, dan materi.

Jeffrey D. Adams, pemimpin proyek dan profesor matematika di University of Maryland, mengatakan E8 sebenarnya telah ditemukan lebih dari satu abad yang lampau, pada 1887.

Namun, ia baru bisa dipecahkan sekarang karena tak seorang pun yang berpikir struktur itu bisa dimengerti.

Soal yang satu ini harus menunggu datangnya era superkomputer dan Internet hingga bisa dipecahkan.

"Ini adalah pencapaian yang akan menjadi landasan, baik untuk kemajuan dalam pengetahuan dasar maupun perhitungan skala besar dalam memecahkan berbagai permasalahan matematika yang rumit," kata Adams.

Pemetaan E8 ada kemungkinan punya implikasi yang tidak dapat diramalkan sebelumnya di bidang matematika dan fisika.

Struktur E8 adalah induk kelompok Lie, yang ditemukan oleh Sophus Lie, matematikawan Norwegia abad ke-19, untuk mengeksplorasi simetri.

Bagi matematikawan dan fisikawan, simetri amat penting karena bisa memberikan wawasan yang amat mendalam untuk memahami sebuah masalah.

Kelompok Lie adalah nama yang diberikan untuk sebuah kumpulan deskripsi matematis untuk membantu mengilustrasikan simetri dari sebuah obyek.

Grup Lie untuk bidang bulat, misalnya, menggambarkan seluruh operasi matematika yang bisa dilakukan pada bidang itu tanpa mengubah penampilannya.

Teorinya, segala bentuk obyek simetris, seperti sebuah bidang bulat, adalah anggota kelompok Lie. Anggota kelompok ini adalah beberapa set transformasi yang terus-menerus tanpa mengubah penampilan sebuah obyek.

Sebuah bidang bulat, misalnya, bisa diputar pada jarak mana pun di sekitar porosnya dan tetap terlihat sama. Silinder, bola, atau kerucut adalah contoh obyek tiga dimensi simetris yang paling umum dan sederhana.

Ketika mempelajari struktur simetri dalam kelompok Lie, para matematikawan menemukan lima perkecualian dari empat kelas grup Lie itu.

Salah satu struktur nyeleneh yang paling rumit dari kelompok Lie itu adalah E8, potongan origami geometris dalam 248 dimensi.

"E8 adalah simetri yang paling sulit," kata David Vogan, profesor matematika di Massachusetts Institute of Technology (MIT), yang terlibat dalam penghitungan itu.

"Matematika selalu menawarkan contoh lain yang lebih susah daripada bentuk yang Anda amati sekarang, tapi untuk grup Lie, E8 adalah yang paling sulit."

Biarpun sulit, pemecahan E8 memang layak diperjuangkan.

Struktur ini diharapkan bisa menjadi landasan Teori Segalanya yang dicetuskan Albert Einstein dalam upaya menggambarkan alam semesta kita.

Pada saat ini para pendukung Teori Dawai (String Theory) mencari teori alam semesta dengan menghitung E8 x E8.

Mengingat luasnya alam semesta, tak mengherankan jika magnitudo kalkulasi E8 ini amat besar, jauh lebih besar dibanding Proyek Genom Manusia.

Genom manusia, yang mengandung seluruh informasi genetik sebuah sel, besarnya kurang dari satu gigabita.

Sedangkan hasil penghitungan E8, yang berisi semua informasi tentang struktur itu, berukuran 60 gigabita.

Ukuran ini cukup untuk menyimpan musik dalam format MP3 selama 45 hari tanpa berhenti. Jika disalin di atas kertas, jawaban hitungan ini akan menutupi area seluas Manhattan, Amerika Serikat, yakni 61 kilometer persegi.

Sebuah gambar E8 dengan ketajaman rendah yang dikeluarkan MIT memperlihatkan struktur mirip tenda sirkus beraneka warna, seperti mainan konstruksi anak-anak dengan tiang-tiang yang saling berhubungan.

"Kami tak pernah berharap bisa merepresentasikan struktur itu seutuhnya karena ini adalah abstraksi matematis," kata ilmuwan Belanda, Marc van Leeuwen, dari University of Poitiers, Prancis.

Van Leeuwen mengatakan dari struktur itu memang bisa dibuat beberapa gambar yang bagus.

"Tapi selembar kertas hanya dua dimensi sehingga Anda tak akan pernah bisa melihat obyek riilnya."

Meski abstrak dan sulit dibayangkan, fisikawan Hermann Nicolai dari Max Planck Institute for Gravitational Physics di Potsdam, Jerman, menganggap E8 sebagai struktur matematika paling indah.

"Tapi sangat kompleks," ujarnya.


Apa Itu E8?

Obyek ini dianggap memiliki struktur matematika paling simetris di alam semesta.

Namun, para pakar matematika dan fisika yang berhasil membuatnya sekalipun tak bisa menggambarkan deskripsinya dengan kata-kata.

"Bentuk ini sangat abstrak," kata Jeffrey D. Adams, profesor matematika di University of Maryland, Amerika Serikat.

Brian Conrey, Direktur Eksekutif American Institute of Mathematics, yang menjadi sponsor proyek itu, menyatakan benda ini memang tak bisa digambarkan.
"Bentuknya semacam kurva, sejenis benda dengan permukaan yang berbentuk seperti donat," kata Conrey.

"Anda bisa memutarnya dalam berbagai cara dan yang menakjubkan ia selalu simetris."

Sebuah situs milik American Institute of Mathematics menjelaskan E8 sebenarnya adalah empat benda yang berbeda tapi saling berhubungan.

E8 adalah struktur pertama dari sistem akar yang luar biasa besar, sebuah set vektor dalam sebuah ruang vektor riil 8 dimensi.

Karena teramat besarnya E8, maka untuk mengetahui seluruh dimensi simetris dari obyek 57 dimensi ini diperlukan kalkulasi 200 miliar angka.

Bisa dibayangkan berapa lama waktu yang dibutuhkan seorang matematikawan menghitungnya sehingga perlu 18 matematikawan serta satu superkomputer.

E8 adalah anggota grup Lie yang paling rumit karena merupakan obyek 57 dimensi yang amat simetris sehingga bisa diputar-putar dalam 248 cara tanpa mengubah penampilannya. aimath | NYTimes


Yang Menemukan Kebahagiaan

Untuk memecahkan masalah yang supersulit ini, matematikawan harus menanggalkan kebiasaan soliternya.

Mereka harus berkolaborasi dengan belasan pakar matematika dan komputer lainnya.

Dari dua benua yang dipisahkan Samudra Atlantik, mereka menggabungkan matematika teoretis dan program komputer yang ruwet.

"Literatur soal ini amat tebal dan sangat sulit dipahami," kata David Vogan, profesor matematika di Departemen Matematika Massachusetts Institute of Technology.

"Bahkan setelah kami mengerti dasar matematikanya, masih perlu waktu dua tahun untuk mengimplementasikannya di komputer."

Kesulitan selama empat tahun berkutat dengan E8 itu diungkapkan Vogan dalam ceramah bertajuk "Tabel Karakter E8 atau Bagaimana Kami Menulis Matriks 453.060 x 453.060 dan Menemukan Kebahagiaan" di kampusnya.

Masalah yang paling membuat pusing kepala adalah menemukan komputer yang cukup besar untuk menyelesaikan kalkulasinya.

Selama satu tahun penuh, tim itu berusaha merampingkan kalkulasi tersebut seribu kali lipat agar lebih efisien dan muat dalam superkomputer yang ada.

Meski mereka sudah bekerja keras, kalkulasi itu masih di luar batas kemampuan generasi mesin hitung paling mutakhir.

Tepat ketika tim mulai kehilangan harapan bisa melihat realisasi hasil kerja mereka, salah seorang di antara mereka mempunyai gagasan untuk membagi-bagi perhitungan itu menjadi beberapa kelompok sehingga bisa dikalkulasi secara terpisah.

Hasil dari tiap kelompok kemudian digabungkan untuk mencari cara penyelesaian terakhir.

Untuk mencari kalkulasi final sebuah matriks 453.060 x 453.060 sel itu, superkomputer Amerika, Sage, membutuhkan waktu 77 jam.

Namun, seperti diungkapkan Vogan, pada akhir perjuangan itu tim Atlas yang beranggotakan 18 orang ini memang menemukan kebahagiaan.

Meskipun salah seorang di antara mereka, ilmuwan Prancis, Fokko du Cloux, meninggal pada 2006, setahun sebelum teka-teki rumit ini terpecahkan.

Terobosan ini adalah kemajuan amat penting dalam ilmu fisika karena dapat dipakai untuk menguji teori kunci tentang berbagai simetri fundamental di alam.

Di antara berbagai simetri yang diperdebatkan itu adalah bentuk kosmos, yang diciptakan suatu ledakan besar 13 miliar tahun lampau dan partikel dasar itu sendiri, kata Hermann Nicolai, Direktur Albert Einstein Institute di Potsdam, Jerman.

Sumber: Koran Tempo (26 Maret 2007)